Релятивістське уповільнення часу

З точки зору системи відліку синього годинника, червоний годинник, що рухається, сприймається як такий, що йде повільшіше (утрирована схема).

Релятивістське уповільнення часу — ефекти уповільнення часу, що описуються в межах загальної та спеціальної теорій відносності. Причинами релятивістського уповільнення часу, відповідно, є перебування систем відліку на різній відстані від масивного тіла у полі його гравітації^{[джерело?]} та ненульова швидкість руху інерціальної системи відліку відносно непорушного спостерігача. Уповільнення часу не залежить від властивостей годинника, що вимірює час, і є наслідком властивостей простору-часу у певній точці, для якої визначається часовий інтервал.

Уповільнення часу в межах спеціальної теорії відносності

У межах спеціальної теорії відносності уповільнення часу є наслідком принципу рівноправності інерціальних систем відліку та перетворень Лоренца, що слідують із нього.

Можна розглянути дві події, просторово-часовий інтервал між якими є часоподібним. Відповідно, часові інтервали $\ \Delta t$ та $\ \Delta t'$ між подіями, що розглядаються відносно нерухомої інерціальної системи відліку A, та інерціальної системи відліку A', що рухається, будуть різними. Можна прийняти, що відносно системи відліку A' простороподібний інтервал дорівнює нулю,

$\ \Delta x^{\prime },\Delta y^{\prime },\Delta z^{\prime }=0\qquad (1)$,

тобто, координати точки події в цій системі відліку не змінюються.

Якщо розглянути зв'язок часових інтервалів $\ \Delta t$ та $\ \Delta t'$ у рамках перетворення Лоренца часової компоненти лінійного елементу інтервала $\ \Delta s$ при переході від інерціальної системи відліку А' до інерціальної системи відліку А,

$\ \Delta t={\frac {\Delta t'+{\frac {\Delta x'v}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$,

та врахувати, відповідно до $\ (1)$, що $\ \Delta x'=0$, можна отримати кількісне співвідношення між :$\ \Delta t$ та $\ \Delta t'$:

$\ \Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (2)$.

При цьому

$\ \Delta x={\frac {v\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

З $\ (2)$ видно, що найкоротший часовий інтервал між двома подіями буде визначатись тоді, коли відносно інерціальної системи відліку, де знаходиться годинник, виконується умова $\ (1)$.

Якщо тепер розглянути об'єкт, що рухається відносно інерціальної системи відліку А по криволінійній траєкторії зі змінною у часі швидкістю $\ v$, і розбити його траєкторію на множину безкінечно малих інтервалів, на проходження яких відносно нерухомої інерціальної системи відліку потрібен час $\ dt$, то, відновідно годиннику у супутній локально-інерціальній інерціальної системи відліку, на проходження того ж інтервалу, згідно з $\ (2)$, буде потрібен час:

$\ dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\Rightarrow dt={\frac {dt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.\qquad (3)$.

Тоді сумарний інтервал часу, що вимірюється відносно інерціальної системи відліку А, не залежить від прискорення й буде визначатися інтегралом виразу (3):

$\ t_{2}-t_{1}=\int \limits _{0}^{t}{\frac {dt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad (4)$.

З $\ (4)$ видно, що часовий інтервал не залежить від прискорення.

Уповільнення часу у рамках загальної теорії відносності

У основі загальної теорії відносності лежить метричний тензор $\ g_{ik}(x)$, де $\ i,k=0,1,2,3$, який при зміні координат змінюється таким чином, що величина просторово-часового інтервалу між двома подіями з координатами $\ x^{i}$ та $\ x^{i}+dx^{i}$ залишається незмінною:

$\ ds^{2}=g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k}={\text{inv}}$.

Якщо прийняти, що

$\ dx^{1}=dx^{2}=dx^{3}$,

тобто — годинник нерухомий, можна отримати співвідношення між інтервалом світового,

$\ d\tau ={\frac {ds}{c}}$,

та власного,

$\ dt={\frac {dx^{0}}{c}}\qquad (5)$,

часу. Для цього треба врахувати, що інтервал $\ ds^{2}$ світової лінії нерухомого годинника у гравітаційному потенціалі дорівнює

$\ ds^{2}=-c^{2}{d\tau }^{2}=-g_{00}{dx^{0}}^{2}\qquad (6)$.

Тоді, з урахуванням $\ (5)$, $\ (6)$ прийме вигляд:

$\ ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-c^{2}g_{00}{dt}^{2}$.

Звідси,

$\ d\tau ={\sqrt {g_{00}}}dt$,

де $\ g_{00}=-(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}})$ — функція $\ x$.

Загальний вираз для уповільнення часу

Нехай об'єкт нерухомий у деякий момент часу. Тоді інтервал між двома подіями, пов'язаними з об'єктом, буде мати вигляд:

$\ ds^{2}=-c^{2}dt^{2}\qquad (7)$.

З іншого боку, $\ ds^{2}$ також дорівнює

$\ ds^{2}=d\sigma ^{2}-(c^{*}d\tau \gamma _{\mu }-dx^{\mu })^{2}\qquad (8)$,

де $\ d\sigma ^{2}$ — квадратична форма диференціала $\ dx^{\mu }$, $\ \gamma _{\mu }$ — векторний гравітаційний потенціал, $\ c^{*}=c{\sqrt {-g_{00}}}$ — середня швидкість світла, ортогональна вектору $\ \gamma _{\mu }$.

Прирівнявши $\ (8)$ до виразу $\ (7)$, можна отримати:

$\ ds^{2}=-c^{2}dt^{2}=d\sigma ^{2}-(c^{*}d\tau -\gamma _{\mu }dx^{\mu })^{2}\Longleftrightarrow cdt={\sqrt {(c^{*}d\tau -\gamma _{\mu }dx^{\mu })^{2}-d\sigma ^{2}}}\qquad (9)$.

Провівши з $\ (9)$ перетворення

$\ dt={\sqrt {{\frac {1}{c^{2}}}(d\tau ^{2}((c^{*}-{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }})^{2})-d\sigma ^{2})}}=d\tau {\sqrt {({\frac {c{\sqrt {-g_{00}}}}{c}}-\gamma _{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{cd\tau }})^{2}-({\frac {d\sigma }{cd\tau }})^{2}}}=d\tau {\sqrt {({\sqrt {-g_{00}}}-\gamma _{\mu }{\frac {v_{\mu }}{c}})^{2}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\qquad (10)$.

Якщо інерційна система відліку часоортогональна, то $\ \gamma _{\mu }=0$ і вираз $\ (10)$ набуде вигляду:

$\ dt=d\tau {\sqrt {-g_{00}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=d\tau {\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$,

де $\ \varphi$ — скалярний гравітаційний потенціал.

Див. також

• Гравітаційне червоне зміщення
• Гравітаційне уповільнення часу
• Загальна теорія відносності
• Парадокс близнят
• Експеримент Хафеле — Кітінга

Література

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4